朝倉市ニュース

朝倉市の話題や最新情報

定数係数の2階線形微分方程式非同次 この問題の2が分かり

2021年3月7日 |
転職 |

定数係数の2階線形微分方程式非同次 この問題の2が分かり。公式よりdcost/dt=。この問題の(2)が分かりません 【問題】 微分方程式 dx / dt = 2 x ( tan t ) + sin t について,以下の問いに答えよ. (1) 関数 x = cos t が解であることを確かめよ. (2) 関数 x = cos t + C cos^2 t (Cは任意定数)は一般解であることを証明せよ. 【解答】 (1) x = cost より, dx / dt = ? sin t
(左辺) = dx / dt = ? sin t (右辺) = ?2 ( cos t ) tan t + sin t = ?2 ( cos t ) ( sin t / cos t ) + sin t
= ?2 sin t + sin t = ? sin t
よって,(左辺) = (右辺)
したがって,x = cos t は与えられた微分方程式の解である. (2) x = cost + C cos^2 t より, dx / dt = ? sin t ? 2C cos t sin t
(左辺) = dx/dt = ? sin t ? 2C cos t sin t
(右辺) = ?2( cos t + C cos^2 t ) tan t + sin t
= ?2( cos t + C cos^2 t ) ( sin t /cos t ) + sin t
= ?2 sin t ? 2C cos t sin t + sin t
= ? sin t ? 2C cos t sin t よって,(左辺) = (右辺)
また,1 個の任意定数を含むから, 関数 x = cos t + C cos2^ t は与えられた微分方程式の一般解である. ──────────────────── 最初に記載しましたが、この問題の(2)が分かりません 具体的に言うと、解説の3行目の dx / dt = ? sin t ? 2C cos t sin t の部分がどうやってこうなるのかが分かりません 途中計算と出来れば解説をお願いします 回答お願いします ※もしカテゴリが間違っていたら相応しいカテゴリを教えてください 微分方程式についての問題がわかりません。点,が方程式,=のグラフ上にある。 ?,= です。 例えば「,は
この質問?回答を

定数係数の2階線形微分方程式非同次。定数係数の2階線形微分方程式については,同次方程式は次のの形,非同次
方程式はの形になります., は定数のこの特殊解1つの解を「一発
で求めよう」とすると,少し複雑なことを覚えなければならない.&#;&#;=
となるから &#;&#;+&#;+=++ となり,これが方程式の右辺の と
等しくなるためには だけで解決するとは限らず,=
だからといって,= だけで解決するとは限りません.分かりやすくて
助かりました。

公式よりdcost/dt=-sintあとは置換積分ですs=costとおきますC cos2t=Cs2両辺をtで微分しますd Ccos2t/dt=d Cs2/dt右辺は変数がsなのにtで微分しないといけません。そこで置換積分を使ってd Cs2/dt= d Cs2/ds?ds/dt=2 Cs?-sint=-2sint costx = cost + C cos^2 tを両辺 x で微分するとdx / dt = ? sin t ? 2C cos t sin t が得られます。この部分が理解できていないとなると,合成関数の微分法の理解ができていないと思われます。

Comments

コメントを残す